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Ein fairer sechsseitiger Würfel wird gerollt. Zur gleichen Zeit werden sechs schöne Münzen geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Köpfe, die angezeigt wird, gleich der Zahl auf dem Chip ist.

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1. Betrachte das folgende Experiment. Eine Faircoin wird geworfen, wenn das Ergebnis Heads ist, wird ein sechsseitiger Würfel gewalzt, ansonsten wird ein vierseitiger Würfel gerollt. Beide Würfel sind unvoreingenommen.Let X die Zahl, die auf dem Würfel Showup ..

ein. Finden Sie den Wert von E [X] und Var [X].


Wenn die Fair-Sechs-Sided-Würfel gerollt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine bestimmte Zahl in der Menge [math] \ left \ {{1,2,3,4,5,6} \ right \} = \ frac {1} {6} [/ math]

Nun, das ist die Wahrscheinlichkeit , die Köpfe haben atleast 1 Kopf

[Mathe]

\ Frac {{{6} \ wählen {1}} + {{6} \ wählen {2}} + {{6} \ wählen {3}} + {{6} \ wählen {4}} + {{6 } Wählen Sie {5}} + {{6} \ select {6}}} {2 ^ {6}} = 0.984375

[/Mathe]

Nun ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese bestimmte Zahl, die erschienen ist, gleich der Zahl auf dem Würfel ist

[Mathe]
\ Frac {0,984375} {6} = 0,1640625
[/Mathe]

Sridhar Ramesh's Weg ist viel einfacher, aber meine Intuition führte mich zu dieser Methode.


Die Antwort lautet: [math] (1 - 2 ^ {- 6}) / 6 [/ math]: Wenn alle Münzen Schwänze kommen, , Wird es nicht möglich sein, dass die Matrize mit den Münzen übereinstimmt. Jedoch beträgt für jedes andere besondere Ergebnis der Münzen 1/6 der Zeit, zu der dieses Ergebnis auftritt, die Würfelwalzen, um zusammenzupassen. Also, insgesamt, [Mathematik] (1 - 2 ^ {- 6}) / 6 [/ math] der Zeit, die Düse entspricht den Münzen.


Die Die:

Die Anzahl der Punkte (C) gezeigt nach einem Münzwurf ist diskret gleichmäßig verteilt , so dass die Wahrscheinlichkeit zu erhalten [Math] K_ {Würfel} [/ math] Punkte auf ein Wurf ist

  • [Math] Pr (C = k_ {dice}) = 1/6, k_ {dice} = 1, ... 6 [/ math].

Die Münzen:

Wir haben identische (unabhängig) Münzen jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p zu werfen Köpfe. Dies entspricht einer Münze sechsmal zu werfen und notieren Sie die Anzahl der Köpfe (H), die binomialverteilte wird. Die Wahrscheinlichkeit , dass das Werfen genau [Math] K_ {Münze} [/ math] Köpfe aus N schleudert ist
[Math] Pr (H = k_ {Münze}) = {N \ wähle k_ {Münze}} \ cdot p ^ {k_ {Münze}} (1-p)

Mit [math] N = 6 [/ math] und [math] p = 1/2 [/ math]:

  • [Math] Pr (H = k_ {Münze}) = [/ math]

[Math] = {6 \ wählen Sie k_ {Münze}} \ cdot (1/2) ^ {k_ {Münze}} (1-1 / 2) ^ {N-k_ {Münze}} = [/ math] [math ] {6 \ wählen Sie k_ {Münze}} \ cdot \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 6 [/ math]

Wahrscheinlichkeit des Erhaltens der gleichen Anzahl von Punkten auf den Würfeln als die Anzahl der Köpfe vom Werfen der Münzen (werfen eine Münze sechsmal).

Wenn wir [math] k [/ math] Punkte auf den Würfeln haben, müssen wir [math] k [/ math] Köpfe von den Münzenwürfen beobachtet haben. Das heißt, wir sind an allen Möglichkeiten interessiert
[Math] k_ {dice} = k_ {Münze} [/ math].

Wir summieren nur über alle möglichen Ergebnisse, um die Antwort zu bekommen:
[Math] Pr (C = D) = \ sum_ {k = 1} ^ {6} {Pr (C = k)
[Math] = \ sum_ {k = 1} ^ {6} {\ frac {1} {6} \ cdot {6 \ wählen k} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 6} = [/Mathe]
[Math] = \ frac {1} {6 \ cdot 2 ^ 6} \ sum_ {k = 1} ^ {6} {{6 \ Wählen Sie k}} = 21/128 \ }}[/Mathe]

Hinweis:

[Math] {a \ select b} = \ frac {a!} {(Ab)! \ Cdot b!} [/ Math]
Wo ist math = 1 \ cdot 2 \ cdot ... \ cdot a [/ math]
Und beachten Sie, dass aufgrund der Symmetrie:
[Math] {6 \ wählen 1} = {6 \ wählen 5} [/ math],

[Math] {6 \ wählen 2} = {6 \ wählen 4} [/ math].


Es gibt viel einfachere Möglichkeiten, dies zu tun, die ich beschrieben habe. Nur eine andere Methode, um zu demonstrieren, wie viele Methoden wir verwenden können.

Die folgenden Szenarien entsprechen unseren Anforderungen

1 Kopf <=> 1 auf der Matrize
2 Köpfe <=> 2 auf der Matrize
.
.
6 Köpfe <=> 6 auf der Matrize

Benutzung
P (#heads = k für n Münzenwürfel) = nCk * (1/2) ^ n (Münze ist fair),

P (# Köpfe = Matrizenrolle)
= 6 * * 1/6 + 15 * (1/2 ^ 6) * 1/6 + 20 * (1/2 ^ 6) * 1/6 + 15 * (1/2) 6) * 1/6 + 6 * (1/2 ^ 6) * 1/6 + 1 * (1/2 ^ 6) * 1/6

= (1/6) (1/2 ^ 6) * (6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1)

= (1/2 ^ 6) * (63/6) ~ 0,164

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